當你準備面試，特別是科技或金融科技公司的面試時，這不僅僅是編寫功能代碼。這些公司更關心的是你的思維方式、優化能力以及解決問題的效率。面試官通常會通過超出基本實現範圍的編碼問題來考察你的技能，這些問題通常要求你找到降低計算複雜性的策略，並發現不僅正確而且針對效能進行最佳化的解決方案。
在軟體開發的現實世界中，通常不是尋找理論上的「最佳」解決方案，而是尋找最實用的解決方案。在機器學習、數據分析或財務建模等領域，你經常需要處理巨大的參數空間，以平衡準確性和效率。有時，你需要執行大規模模擬，即使節省一小部分運算資源也變得至關重要。在這種背景下，編碼效率和優化成為必備技能。
其中一個常見的面試問題是計程車號碼問題。這是一個優雅又棘手的問題，經常出現在各大科技公司的程式設計挑戰中。任務是什麼？有效地找到可以以不同方式表示為兩個立方之和的所有數字，直到某個數字 N（可以很大）。雖然強力解決方案可能很容易實現，但隨著數字的增加，它的計算成本很快就會變得昂貴。然而，優化的演算法可以讓你更有效地產生這些數字。
計程車號碼的概念源自於斯里尼瓦薩·拉馬努金 (Srinivasa Ramanujan) 的軼事。當拉馬努金生病住院時，他的同事哈迪來看他，兩人討論了哈迪去醫院所搭乘的計程車號碼。這個號碼是一個正整數，可以用兩種不同的方式表示為兩個立方之和。
下面的 Python 程式碼展示了如何透過迭代四個嵌套循環來識別這些數字，並附加 a ≠ c、a ≠ d、b ≠ d 的約束，以避免一些瑣碎的解決方案（例如排列相同的數字）。
Python
# 簡單的暴力搜尋演算法
def find_taxicab_numbers(N):
for a in range(1, int(N**(1/3)) + 1):
for b in range(a, int(N**(1/3)) + 1):
for c in range(a + 1, int(N**(1/3)) + 1):
for d in range(c, int(N**(1/3)) + 1):
if a**3 + b**3 == c**3 + d**3:
print(f”{a}³ + {b}³ = {c}³ + {d}³”)
然而，這種方法效率低下，因為它的時間複雜度是 O(N⁴/3)。接下來，我們討論使用 Python 的 itertools 模組進行的改進，該模組透過消除一個循環來降低複雜性。
Python
import itertools
def find_taxicab_numbers_itertools(N):
cubes = [i**3 for i in range(1, int(N**(1/3)) + 1)]
for a, b in itertools.combinations(cubes, 2):
for c, d in itertools.combinations(cubes, 2):
if a + b == c + d and {a, b} != {c, d}:
print(f”{a} + {b} = {c} + {d}”)
最實質的最佳化是透過哈希實現的，利用 Python 字典來儲存中間結果並將時間複雜度降低到 O(N²/3)。
Python
def find_taxicab_numbers_hash(N):
sum_dict = {}
for a in range(1, int(N**(1/3)) + 1):
for b in range(a, int(N**(1/3)) + 1):
sum_cubes = a**3 + b**3
if sum_cubes in sum_dict:
sum_dict[sum_cubes].append((a, b))
else:
sum_dict[sum_cubes] = [(a, b)]
for pairs in sum_dict.values():
if len(pairs) > 1:
for (a, b), (c, d) in itertools.combinations(pairs, 2):
print(f”{a}³ + {b}³ = {c}³ + {d}³”)
透過利用 Python 字典（及其背後的哈希機制），我們大大提高了查找計程車號碼的效率。這裡的權衡是我們使用更多的記憶體來儲存中間結果（立方體的總和），但作為回報，我們避免了重新計算值並獲得了速度的顯著提高。這是時空權衡的經典範例，了解何時以及如何應用此類最佳化對於有效解決現實世界的編碼問題至關重要。
